isposdef() afirma que algunas (aunque no todas) las matrices semidefinidas positivas son definidas positivas cuando no lo son:
julia> A = [1.69 2.21; 2.21 2.89]
2×2 Array{Float64,2}:
1.69 2.21
2.21 2.89
julia> det(A)
0.0
julia> isposdef(A)
true
julia> isposdef(ones(2,2))
false
No estoy seguro de qué está causando este comportamiento: parece que isposdef() intenta hacer una descomposición de Cholesky de la matriz, y todas las matrices semidefinidas positivas tienen una descomposición de Cholesky (aunque IIRC no hay un algoritmo general para encontrarlas) . Me parece que sería más simple simplemente implementar el criterio de Sylvestor con algo como
sylvestor(A) = issymmetric(A) & all([det(A[1:j, 1:j]) > 0 for j = 1:size(A)[1]])
Información de la versión:
julia> versioninfo()
Julia Version 0.5.0
Commit 3c9d753 (2016-09-19 18:14 UTC)
Platform Info:
System: NT (x86_64-w64-mingw32)
CPU: Intel(R) Xeon(R) CPU E3-1240 v3 @ 3.40GHz
WORD_SIZE: 64
BLAS: libopenblas (USE64BITINT DYNAMIC_ARCH NO_AFFINITY Haswell)
LAPACK: libopenblas64_
LIBM: libopenlibm
LLVM: libLLVM-3.7.1 (ORCJIT, haswell)
wilburtownsend
Todos 3 comentarios
El redondeo durante el cálculo de la factorización de Cholesky puede causar esto. Generalmente, no es posible probar de forma fiable la singularidad de las matrices de punto flotante. La matriz que proporcionó en realidad no es singular en su representación de coma flotante binaria
julia> det(big(A))
2.13162820728030047872728228063319445882714347172137703267935663215914838016073e-16
Los determinantes son generalmente bastante poco confiables en los cálculos numéricos porque los términos crecen tan rápido que el criterio de Sylverster no es realmente práctico. En cálculos numéricos, la prueba a través de Cholesky es en la mayoría de los casos lo que desea y es bastante económica, por lo que no creo que la cambiemos. Sin embargo, podría ser una buena idea ampliar la documentación para explicar el método y tal vez también usar el ejemplo aquí para mostrar las limitaciones. Agregaré la etiqueta de documentación al problema.
andreasnoack
en 13 ene. 2017
@andreasnoack ¿Puede ser este el resumen de la situación aquí? Lo agregaré a los documentos junto con el ejemplo después de la aprobación.
isposdef(A) → Bool
Pruebe si una matriz es definida positiva utilizando la descomposición de Cholesky, ya que el criterio de Sylvester se vuelve poco práctico debido a los cálculos determinantes poco confiables de números grandes. En el caso de matrices de coma flotante semidefinidas positivas singulares (no invertibles), la función podría no funcionar como se desea debido al redondeo involucrado en la factorización de Cholesky y la representación binaria de coma flotante no singular de la matriz.
akaysh
en 13 ene. 2017
No creo que sea necesario mencionar el criterio de Sylvester.
tkelman
en 14 ene. 2017
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El redondeo durante el cálculo de la factorización de Cholesky puede causar esto. Generalmente, no es posible probar de forma fiable la singularidad de las matrices de punto flotante. La matriz que proporcionó en realidad no es singular en su representación de coma flotante binaria
Los determinantes son generalmente bastante poco confiables en los cálculos numéricos porque los términos crecen tan rápido que el criterio de Sylverster no es realmente práctico. En cálculos numéricos, la prueba a través de Cholesky es en la mayoría de los casos lo que desea y es bastante económica, por lo que no creo que la cambiemos. Sin embargo, podría ser una buena idea ampliar la documentación para explicar el método y tal vez también usar el ejemplo aquí para mostrar las limitaciones. Agregaré la etiqueta de documentación al problema.