Lapack: 具有复杂双元素类型的 ggev 和 gges 中的收敛错误

创建于 2021-01-21 · 41评论 · 资料来源: Reference-LAPACK/lapack

广义 Schur 和特征值例程gges和ggev有时无法与某些双精度复数元素类型的矩阵A, B收敛。我在下面发布了一些示例矩阵。

错误是 Julia 中的ERROR: LAPACKException(16)类型，或者 Python 中信息量更大的numpy.linalg.LinAlgError: generalized eig algorithm (ggev) did not converge (LAPACK info=16)类型。这意味着ggev或gges例程的收敛不足。

一些经验观察。

我没有遇到双精度复数以外的元素类型的问题（即问题似乎只在zgges和zgeev中）
有时失败的矩阵本身是真实的，将它们的元素类型转换为单精度或双精度浮点数不会触发错误。
此外，该错误有时仅出现在 macOS 上，但不会出现在 linux 或相反的情况下（对于某些矩阵 A、B），尽管对于大多数失败的矩阵，错误在两个操作系统中都会触发。
该错误是用 Intel i7、Intel Xeon 和 Ryzen Threadripper 重现的（后者不是我做的）。
从 Julia 1.5.3、Julia 1.7、Python 2.7 和 Python 3.9 调用 LAPACK 时重现了相同的错误。在所有这些中都获得了相同类型的错误，但不是在所有操作系统/语言组合中（见下文）
在我使用 Intel 的 MKL 实现（2018 版）或 Mathematica 的（v12.1）的任何测试（包括下面的矩阵）中都不会出现这种类型的收敛问题
我相信有一种方法可以计算每对矩阵的相互条件数，但我还没有弄清楚这一点。
[编辑] 我确认这个问题也被触发，也直接调用 netlib-LAPACK 库（见下面的帖子），所以问题似乎不在与 Julia/Python 捆绑的 OpenBLAS 库中，而是在参考zgges中

我附上了三个有问题的矩阵示例，适用于 julia 和 python。我一共测试了六个环境。机器“MA”是一个Intel(R) Core(TM) i7-8559U CPU @ 2.70GHz运行 macos Big Sur。机器“MB”是一个运行 Debian Buster 的Intel(R) Xeon(R) CPU X5650 @ 2.67GHz 。我测试了三种语言：(1) = Python 2.7 和 (2) = Python 3.9 和 (3) = Julia 1.5。结果如下（“有效”意味着它没有错误，在所有情况下都没有检查结果的正确性）

示例 1

失败：MA(1)、MA(2)、MA(3)
作品：MB(1)、MB(2)、MB(3)

示例 2

失败：MA(2)、MA(3)、MB(1)、MB(2)、MB(3)
作品：文学硕士(1)

示例 3

失败：MB(3)
作品：MA(1)、MA(2)、MA(3)、MB(1)、MB(2)

矩阵示例

Julia中的错误代码是

using LinearAlgebra
eigen(A, B)  # or schur(A, B)

Python中的错误代码是

import numpy as np
from scipy.linalg import eig
eig(A, b=B)

示例 1

Python代码

A1 = np.array([[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0], [3.7796350217469814, -3.3125635598133054, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 6.418270043493963, -6.625127119626611, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0], [-3.312563559813306, 3.779635021746982, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -6.625127119626612, 6.418270043493964, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 3.7796350217469814, 0.0, 0.0, -3.3125635598133054, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 6.418270043493963, 0.0, 0.0, -6.625127119626611, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 3.779635021746982, -3.312563559813306, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 6.418270043493964, -6.625127119626612, 0.0, -1.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, -3.3125635598133054, 3.7796350217469814, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -6.625127119626611, 6.418270043493963, -1.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, -3.312563559813306, 0.0, 0.0, 3.779635021746982, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -6.625127119626612, 0.0, -1.0, 6.418270043493964, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 3.7796350217469814, -3.3125635598133054, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 6.418270043493963, -6.625127119626611], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -3.312563559813306, 3.779635021746982, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -6.625127119626612, 6.418270043493964]]) + 0.0j
B1 = np.array([[1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -3.7796350217469814, 3.312563559813306, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 3.3125635598133054, -3.779635021746982, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -3.7796350217469814, 0.0, 0.0, 3.312563559813306, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -3.779635021746982, 3.3125635598133054, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 3.312563559813306, -3.7796350217469814, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 3.3125635598133054, 0.0, 0.0, -3.779635021746982, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -3.7796350217469814, 3.312563559813306], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 3.3125635598133054, -3.779635021746982]]) + 0.0j

朱莉娅代码

A1 = ComplexF64[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0; 3.7796350217469814 -3.3125635598133054 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.418270043493963 -6.625127119626611 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0; -3.312563559813306 3.779635021746982 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.625127119626612 6.418270043493964 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 3.7796350217469814 0.0 0.0 -3.3125635598133054 0.0 0.0 0.0 -1.0 6.418270043493963 0.0 0.0 -6.625127119626611 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 3.779635021746982 -3.312563559813306 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.418270043493964 -6.625127119626612 0.0 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -3.3125635598133054 3.7796350217469814 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.625127119626611 6.418270043493963 -1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 -3.312563559813306 0.0 0.0 3.779635021746982 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.625127119626612 0.0 -1.0 6.418270043493964 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.7796350217469814 -3.3125635598133054 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 6.418270043493963 -6.625127119626611; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.312563559813306 3.779635021746982 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.625127119626612 6.418270043493964]
B1 = ComplexF64[1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.7796350217469814 3.312563559813306 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.3125635598133054 -3.779635021746982 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.7796350217469814 0.0 0.0 3.312563559813306 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.779635021746982 3.3125635598133054 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.312563559813306 -3.7796350217469814 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.3125635598133054 0.0 0.0 -3.779635021746982 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.7796350217469814 3.312563559813306; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.3125635598133054 -3.779635021746982]

示例 2

Python代码

A2 = np.array([[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -2.62, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.62]]) + 0.0j
B2 = np.array([[1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]]) + 0.0j

朱莉娅代码

A2 = ComplexF64[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -2.62 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.62]
B2 = ComplexF64[1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0]

示例 3

Python代码

A3 = np.array([[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0], [ 0.33748484079831426, -0.10323794456968927, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.5940303184033713, -0.20647588913937853, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0], [ -0.10323794456968927, 0.3374848407983142, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.20647588913937853, -2.5940303184033713, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.33748484079831426, 0.0, 0.0, -0.10323794456968927, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, -2.5940303184033713, 0.0, 0.0, -0.20647588913937853, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.3374848407983142, -0.10323794456968927, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.5940303184033713, -0.20647588913937853, 0.0, -1.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, -0.10323794456968927, 0.33748484079831426, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.20647588913937853, -2.5940303184033713, -1.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, -0.10323794456968927, 0.0, 0.0, 0.3374848407983142, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.20647588913937853, 0.0, -1.0, -2.5940303184033713, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.33748484079831426, -0.10323794456968927, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, -2.5940303184033713, -0.20647588913937853], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.10323794456968927, 0.3374848407983142, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.20647588913937853, -2.5940303184033713]]) + 0.0j
B3 = np.array([[1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.33748484079831426, 0.10323794456968927, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.10323794456968927, -0.3374848407983142, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.33748484079831426, 0.0, 0.0, 0.10323794456968927, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.3374848407983142, 0.10323794456968927, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.10323794456968927, -0.33748484079831426, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.10323794456968927, 0.0, 0.0, -0.3374848407983142, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -0.33748484079831426, 0.10323794456968927], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.10323794456968927, -0.3374848407983142]]) + 0.0j

朱莉娅代码

A3 = ComplexF64[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.33748484079831426 -0.10323794456968927 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.5940303184033713 -0.20647588913937853 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0; -0.10323794456968927 0.3374848407983142 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.20647588913937853 -2.5940303184033713 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.33748484079831426 0.0 0.0 -0.10323794456968927 0.0 0.0 0.0 -1.0 -2.5940303184033713 0.0 0.0 -0.20647588913937853 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.3374848407983142 -0.10323794456968927 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.5940303184033713 -0.20647588913937853 0.0 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -0.10323794456968927 0.33748484079831426 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.20647588913937853 -2.5940303184033713 -1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 -0.10323794456968927 0.0 0.0 0.3374848407983142 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.20647588913937853 0.0 -1.0 -2.5940303184033713 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.33748484079831426 -0.10323794456968927 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 -2.5940303184033713 -0.20647588913937853; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.10323794456968927 0.3374848407983142 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.20647588913937853 -2.5940303184033713]
B3 = ComplexF64[1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.33748484079831426 0.10323794456968927 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.10323794456968927 -0.3374848407983142 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.33748484079831426 0.0 0.0 0.10323794456968927 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.3374848407983142 0.10323794456968927 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.10323794456968927 -0.33748484079831426 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.10323794456968927 0.0 0.0 -0.3374848407983142 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.33748484079831426 0.10323794456968927; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.10323794456968927 -0.3374848407983142]

资料来源

pablosanjose

最有用的评论

好的，是的。我们如何忘记我正在解释的所有花哨的数学......

第 722-732 行没有正确计算 $AB^{-1}$。更详细地说，从未计算 AB12，而是代码使用 AD12。

在修复了这个问题（并且为了更好地衡量，稍微升级了移位计算）之后，异常移位策略对于 pablo 的示例不再重要，因为我们在迭代限制内得到了规律的收敛。

如果 pablo 想要确认，我已经更新了要点，但机器依赖性似乎不太可能仍然是一个问题。

thijssteel 于 2021-01-29

🚀2 ❤1 👍1

所有41条评论

我们能否确定所有这些系统都使用 BLAS&LAPACK 的参考实现，而不是 OpenBLAS 或 Apple 的 Accelerate？

martin-frbg 于 2021-01-21

由于错误是由各种语言和机器触发的，我假设是这样，但下一步是尝试触发它们直接调用参考库。

编辑：准确地说，Julia 使用 OpenBLAS，不确定 Python。我的意思是我怀疑该错误不是由 OpenBLAS 版本引起的，但想确认这种怀疑。

pablosanjose 于 2021-01-21

如果问题与 OpenBLAS 无关，我当然会很高兴，但是现在 numpy 经常/通常与 OpenBLAS 一起分发，并且在其优化的 BLAS 内核中使用 FMA 指令可能会产生错误累积。

martin-frbg 于 2021-01-21

👍1

对，我相信我使用参考 LAPACK 库确认了这个问题。我在 macos ( brew install lapack ) 上使用自制软件获得并编译了它。然后我从 Julia 调用 lapack dylib中的zgeev函数，首先传递示例 2 中出错的矩阵，然后传递示例 3，它有效。

pablosanjose 于 2021-01-21

作为参考，我使用此代码将对 LAPACK 的调用包装在 Julia 函数myggev!中，然后使用相关矩阵执行myggev!('N', 'V', A, B) 。代码直接改编自 Julia 的标准库。

pablosanjose 于 2021-01-21

我对此进行了一些测试，得到了以下结果：

我个人机器上的所有测试工作
与发行版 openblas 链接时，在至强机器上的测试失败（仅示例 1）
当与参考 LAPACK 或从源代码编译的 OpenBLAS 链接时，同一台至强机器上的测试工作。

如果没有一台可以用我可以自己编译的版本重现它的机器，我就无法真正调试。
@pablosanjose你介意为我做一些测试吗？

这个 gist包含一个 fortran 测试文件和一个编辑过的 zhgeqz 版本，可以打印出一些日志。如果您可以克隆 LAPACK，请将 zhgeqz 替换为 gist 中的那个并运行测试文件，我可能能够识别问题。

PS 行长有点长，所以你必须用这样的东西编译测试文件
make lib blaslib
gfortran -ffree-line-length-none -ggdb3 -fcheck=bounds -o test test.f90 librefblas.a liblapack.a -lblas -llapack

thijssteel 于 2021-01-26

❤1 👍1

@thijssteel在您的情况下哪个版本是distribution openblas ？（虽然在 Sandybridge 硬件上构建的 DYNAMIC_ARCH 构建在 SkylakeX 上无法正常运行存在一个奇怪的问题）如果这不能用纯 Reference-LAPACK/BLAS 重现，我想我们应该将此问题转移到 OpenBLAS 跟踪器。

martin-frbg 于 2021-01-26

OpenBLAS 与 apt 一起安装。

libopenblas-base/bionic,now 0.2.20+ds-4 amd64 [installed,automatic]
libopenblas-dev/bionic,now 0.2.20+ds-4 amd64 [installed]

我认为这只是对称或下溢的一个非常非常具体的问题，随着舍入误差的微小变化而消失，因此仍应在此处处理。此外，pablos 能够使用参考 LAPACK 重现它。

thijssteel 于 2021-01-26

哎呀。 0.2.20 大约三年半，有 LAPACK 3.7.0，没有对 AVX512 xeons 的特定支持，有几个已知的线程安全问题，程序集内核中的寄存器重用等已经修复（或至少换成新的）

martin-frbg 于 2021-01-26

@thijssteel感谢您对此进行调查。我克隆、编译并运行测试。结果在这个要点中。

我们应该如何解释这一点？

编辑：这是在我的 macbook pro 下的 macos，顺便说一下，我在 OP 中称之为 MA。

让我提一下，我发布的矩阵在任何意义上都没有经过微调或罕见。当我扫描模型的参数时，在我的应用程序中总是会出现类似的例子，所以这个问题对我来说是一个非常现实的问题，而不是学术问题。当然，确定这是否是 OpenBLAS 特定的至关重要。

pablosanjose 于 2021-01-26

我看到要点被切断了。让我们看看我是否可以直接在这里链接它：
结果.txt.zip

pablosanjose 于 2021-01-26

我发现了问题。

为了解决收敛失败（通常是由于对称性），LAPACK 通常会在几次失败的迭代后选择一些随机偏移来置换频谱。（见要点的第 370 行）。由于该偏移几乎为零，因此它将保持对称性。最终，通过蛮力，我们得到了收敛，但它需要太多的迭代，我们最终无法在迭代限制内解决铅笔问题。一个快速的解决方法是添加更多特殊的移位策略（例如 QR 算法有多个）。

我还确认从源代码编译 OpenBLAS 0.2.20 时也会发生这种情况。快速修复似乎为我解决了这个问题。我已经用修复更新了要点，并在我进行更多测试后进行 PR。

thijssteel 于 2021-01-26

👍1

感谢您如此详细地报告问题并为我运行测试

thijssteel 于 2021-01-26

太棒了，谢谢！！期待修复

pablosanjose 于 2021-01-26

经过一番努力，并得到 Julia 大师的大力帮助，我设法用 Julia 补丁和 #477 中的补丁编译了 OpenBLAS 库，瞧，示例矩阵 1、2 和 3 不再抛出错误！但不幸的是，我很快就遇到了修复不起作用的其他矩阵。我在这里发布了另一个在我的 Macbook Pro（OP 中的机器 MA）上失败的示例，即使在 #477 之后也是如此

A4 = ComplexF64[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0; 1.7391668762048442 -1.309613611600033 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.150333752409688 -2.619227223200066 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; -1.3096136116000332 1.739166876204844 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.6192272232000664 2.150333752409688 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.739166876204844 0.0 0.0 -1.3096136116000332 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 2.150333752409688 0.0 0.0 -2.6192272232000664 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.739166876204844 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.3096136116000332 0.0 -1.0 0.0 0.0 2.150333752409688 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.6192272232000664 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7391668762048442 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.309613611600033 0.0 0.0 0.0 0.0 2.150333752409688 -1.0 0.0 0.0 0.0 -2.619227223200066; 0.0 0.0 -1.309613611600033 0.0 0.0 1.7391668762048442 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.619227223200066 0.0 -1.0 2.150333752409688 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.739166876204844 -1.3096136116000332 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.150333752409688 -2.6192272232000664 0.0 -1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.309613611600033 1.7391668762048442 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.619227223200066 2.150333752409688 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -1.309613611600033 0.0 0.0 0.0 0.0 1.7391668762048442 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.619227223200066 0.0 0.0 0.0 -1.0 2.150333752409688 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.3096136116000332 0.0 0.0 0.0 0.0 1.739166876204844 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.6192272232000664 0.0 -1.0 0.0 0.0 2.150333752409688]
B4 = ComplexF64[1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.7391668762048442 1.3096136116000332 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.309613611600033 -1.739166876204844 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.739166876204844 0.0 0.0 1.309613611600033 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.739166876204844 0.0 0.0 0.0 0.0 1.309613611600033 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.7391668762048442 0.0 0.0 0.0 0.0 1.3096136116000332; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.3096136116000332 0.0 0.0 -1.7391668762048442 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.739166876204844 1.309613611600033 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.3096136116000332 -1.7391668762048442 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.3096136116000332 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.7391668762048442 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.309613611600033 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.739166876204844]

A5 = ComplexF64[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 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B5 = ComplexF64[1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 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0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615393 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615393 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384622 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615392 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384622 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.009615384615394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6.490384615384624];

和以前一样的错误。

编辑：我包括了第二个例子

pablosanjose 于 2021-01-28

我已经根据这些新示例调整了您的 Fortran test.f90 程序。我在这里发布结果

结果2.txt.zip

test2.f90.zip

编辑：啊，抱歉，没有#477。让我看看我是否可以修补它并再次运行。
EDIT2：我不确定我是否将 Julia 矩阵正确传输到 Fortran，因为我现在无法使用 test2.f90 重现该问题。如果我取得进展，我会报告。

pablosanjose 于 2021-01-28

我明白了

 RESULTS OF PENCIL            1  :            8
 RESULTS OF PENCIL            2  :           34

使用 OpenBLAS 当前的develop分支，其中包含 #477

martin-frbg 于 2021-01-28

我的错，你是对的。我在使用 test2 时没有编译 #477 补丁。但是，它在 Julia 中仍然失败，使用（希望是正确修补的）OpenBLAS。我需要进一步调查，我可能将矩阵转换为 Fortran 错误。
只是检查一下，@martin-frbg，您是使用 test2.f90 还是实际上从上面的 Julia 代码中复制了 A4、B4、A5、B5 矩阵？

pablosanjose 于 2021-01-28

哦，我刚用了你的test2.f90。不确定我是否可以及时在此处设置 Julia。

martin-frbg 于 2021-01-28

我觉得有必要说一下： aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaarg

julian 在 PR 中分享了一些关于这个问题的历史。我会检查是否有任何解决问题。

thijssteel 于 2021-01-28

😄1

旁注，我们应该将这些铅笔添加到单元测试中

thijssteel 于 2021-01-28

👍1

好的。让我们在合并之前尝试深入了解这一点。我不是 100% 确定我用 #477 正确编译了 OpenBLAS，所以我不确定我是否过早地发出警报。

要清楚，我做了什么：

我采用了#477 diff 并将其改编为 OpenBLAS 补丁
我使用 Julia 的BinaryBuilder 使用 Julia 补丁和 #477 补丁编译了 OpenBLAS 0.3.13 。这产生了一个我可以从 Julia 那里调用的 dylib
我确认示例 1 和示例 2 在我的 macbook (MA) 中的 Julia 1.7（与 OpenBLAS 0.3.10捆绑在一起）下失败，但他们在 Julia 修补的 0.3.13 dylib 中调用 zggev 并没有失败
我运行了我的包，打补丁调用 0.3.13+#477 dylib，直到它再次被上面的矩阵 4 和 5 绊倒。

这里有许多棘手的潜在陷阱。可能是我没有正确地将 #477 补丁应用到 0.3.13（我第一次尝试这样的远程操作，并且 BinaryBuilder 进程对我来说相当不透明），以及 0.3.13（尚未与 Jullia 捆绑）没有 #477 补丁不会在 1、2 和 3 上失败，但在 4 和 5 上会失败（远程可能性）。并且正确应用的 0.3.13+#477 根本不会失败（确实需要使用 test2.f90 进行重现）。也可能是故障与系统有关，并且它们不会在@martin-frbg 的机器中发生故障。无论如何，让我们继续挖掘，直到我们澄清。

@thijssteel ，您是否有可能从上面的示例 4 和 5 中自己生成一个 test2.f90，就像您为 1,2 和 3 所做的那样？我担心我错误地转移了矩阵。

pablosanjose 于 2021-01-28

477 应该完全适用于 OpenBLAS（在 lapack-netlib 中）。而且我（想我）刚刚在您的配置“MB2”中重现了测试用例 4 的 python 形式的问题（前提是 numpy 和 julia 的矩阵排序相同，这是我对早期测试用例的印象。我基本上只是用大量逗号填充案例 4 并将所有分号变成括号）

martin-frbg 于 2021-01-28

是的，这正是我为 1、2 和 3 所做的。所以你在 Linux+Python2+#477 中确认了失败 4，是吗？ 4在Python3 + #477下不会失败，还是你没试过？例子5呢？

pablosanjose 于 2021-01-28

Linux、Python3、#477 是我尝试过的。还没有尝试过示例 5，因为我厌倦了键入逗号（而且无论如何也没有一个优雅的解决方案）。

martin-frbg 于 2021-01-28

您可能会发现以下 octave 函数对此很有用（只需在末尾删除一个逗号）

function [] = printasfortran (A,name)

[m,n] = size(A);

fprintf( '%s = reshape((/ ', name )
for j=1:n
  for i=1:m
    fprintf( "( %e, %e ),", A(i,j), 0.0 )
  endfor
endfor
fprintf( ' /), shape(%s))\n', name )

endfunction

thijssteel 于 2021-01-28

❤1

python版本4和5：

A4 = np.array([[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0], [ 1.7391668762048442, -1.309613611600033, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 2.150333752409688, -2.619227223200066, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ -1.3096136116000332, 1.739166876204844, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.6192272232000664, 2.150333752409688, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 1.739166876204844, 0.0, 0.0, -1.3096136116000332, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 2.150333752409688, 0.0, 0.0, -2.6192272232000664, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 1.739166876204844, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.3096136116000332, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 2.150333752409688, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.6192272232000664, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.7391668762048442, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.309613611600033, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 2.150333752409688, -1.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.619227223200066], [ 0.0, 0.0, -1.309613611600033, 0.0, 0.0, 1.7391668762048442, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.619227223200066, 0.0, -1.0, 2.150333752409688, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.739166876204844, -1.3096136116000332, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 2.150333752409688, -2.6192272232000664, 0.0, -1.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.309613611600033, 1.7391668762048442, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.619227223200066, 2.150333752409688, -1.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, -1.309613611600033, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.7391668762048442, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.619227223200066, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 2.150333752409688, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.3096136116000332, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.739166876204844, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -2.6192272232000664, 0.0, -1.0, 0.0, 0.0, 2.150333752409688]]) + 0.0j

B4 = np.array([[1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.7391668762048442, 1.3096136116000332, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.309613611600033, -1.739166876204844, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.739166876204844, 0.0, 0.0, 1.309613611600033, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.739166876204844, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.309613611600033, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.7391668762048442, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.3096136116000332], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.3096136116000332, 0.0, 0.0, -1.7391668762048442, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.739166876204844, 1.309613611600033, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.3096136116000332, -1.7391668762048442, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.3096136116000332, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.7391668762048442, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.309613611600033, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.739166876204844]]) + 0.0j

A5 = np.array([[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 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-6.490384615384624, 0.0, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 6.009615384615392, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -6.490384615384622, 0.0, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 6.009615384615394, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -6.490384615384624, 0.0], [ 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 6.009615384615394, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -6.490384615384624]]) + 0.0j

pablosanjose 于 2021-01-28

作为参考，我在#102 移动了一些历史

langou 于 2021-01-28

@thijssteel ：#421 这些铅笔效果如何？你知道吗？

langou 于 2021-01-28

DLAQZ0 会将这些铅笔的计算推迟到 DHGEQZ (n < 75)

可以预料的是，在某种程度上至少会稍微好一些，因为 AED 可以解决很多这些问题。
我也知道它至少会比大多数其他实现更好，因为在双移位计算中对溢出有一些保护。

另一方面，我知道 DLAQR0 在解决收敛问题方面做得更多。它改变了 AED 窗口大小，具有更高级的异常变化，...如果 DLAQZ0 有收敛问题，我可以添加这些技术

thijssteel 于 2021-01-28

我使用@thijssteel的 octave 函数来正确编写矩阵。这是我在带有#477 补丁的macos 下得到的结果。

我认为他们在示例 4 中显示出收敛问题。我读对了吗？

test2.f90.zip
结果2.txt.zip

pablosanjose 于 2021-01-28

@thijssteel ：#421 这些铅笔效果如何？你知道吗？

想要。 #421 是否与https://arxiv.org/abs/2007.03576相关？

pablosanjose 于 2021-01-28

不，到https://arxiv.org/pdf/1902.10954.pdf （但那篇论文更多的是关于 QZ 的理论扩展，而不是具体的实现）。
我很确定 mirko 的代码胜过我的。

thijssteel 于 2021-01-28

👍1

这对您来说可能很明显，但是我在所有这些矩阵中看到的一个共同点是它们有很多奇异值，这些奇异值等于机器精度。我想您对对称性的评论正是如此。

pablosanjose 于 2021-01-28

由于小铅笔更适合单元测试，因此我在这里发布了一个 12x12 示例，在 #477 之后对我来说失败了

A6 = ComplexF64[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0; 3.507883011020636 4.043337864077769 0.0 0.0 0.0 0.0 7.883337105374606 8.086675728155537 0.0 -1.0 0.0 0.0; 4.043337864077769 3.5078830110206356 0.0 0.0 0.0 0.0 8.086675728155537 7.883337105374604 -1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 3.5078830110206356 0.0 0.0 4.043337864077769 0.0 -1.0 7.883337105374604 0.0 0.0 8.086675728155537; 0.0 0.0 0.0 3.5078830110206356 4.043337864077769 0.0 -1.0 0.0 0.0 7.883337105374604 8.086675728155537 0.0; 0.0 0.0 0.0 4.043337864077769 3.507883011020636 0.0 0.0 0.0 0.0 8.086675728155537 7.883337105374606 -1.0; 0.0 0.0 4.043337864077769 0.0 0.0 3.507883011020636 0.0 0.0 8.086675728155537 0.0 -1.0 7.883337105374606];
B6 = ComplexF64[1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.507883011020636 -4.043337864077769 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -4.043337864077769 -3.5078830110206356 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.5078830110206356 0.0 0.0 -4.043337864077769; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -3.5078830110206356 -4.043337864077769 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -4.043337864077769 -3.507883011020636 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -4.043337864077769 0.0 0.0 -3.507883011020636];

pablosanjose 于 2021-01-28

这对您来说可能很明显，但是我在所有这些矩阵中看到的一个共同点是它们有很多奇异值，这些奇异值等于机器精度。我想您对对称性的评论正是如此。

嗯，奇异值和特征值之间的联系是不平凡的，至少对我来说。

对称性更多的是关于 2 个特征值同样接近偏移。然后它们会以同样快的速度收敛。这种转变不会收敛到单个特征值，我们最终永远不会收敛。这在实矩阵中很常见，因为特征值在实轴上是对称的。

其他常见原因是移位列计算中的下溢/溢出或罕见的自毁警惕通货紧缩。

我们现在面临的问题是，为了扰乱对称性和缺乏收敛性，我们只想做一个稍微随机的移位。但是仅仅选择随机的东西并不总是有效的，因为它需要比另一个特征值更接近一个特征值。因此，我们以某种方式将其基于较低的条目，但在极少数情况下，这些条目可能为零，或者是底部子铅笔的迹线/行列式的某种线性组合，它再次具有可能阻碍其对某些铅笔的影响的特殊属性......

所以，是的，虽然我想采取行动，但我将发明一些具有很多推导的巧妙策略。我只是要尝试很多随机的东西，看看有什么用。可能会抹去我最喜欢的数字：1302。谢谢所有的铅笔，给了我很多测试可以使用。

thijssteel 于 2021-01-28

谢谢（你的）信息。如果你想出更多潜在的修复，我会在我的代码上尝试它们。虽然不是最有建设性的评论，但我注意到我无法让英特尔的 MKL 失败一次（我已经尝试过！），所以必须存在一些他们使用的理想策略来解决这个问题。

pablosanjose 于 2021-01-28

这是 MathWorks 不久前提供给我们的一段代码。我们的测试套件中的这段代码有问题，所以我们从未集成它。我的理解是，这段代码在 MKL 和 MathWorks LAPACK 代码中出现了。如果有人可以尝试使用它并查看这是否有帮助，那将是非常棒的。

见：http: //math.ucdenver.edu/~langou/zhgeqz--mathworks.f
MathWorks 代码（左侧）和 LAPACK 的当前代码（右侧）之间的差异为：
http://math.ucdenver.edu/~langou/Diff.html

我正在尝试与 MathWorks 确认我上面提供的代码是否正确。我不是百分百确定。但是，如果有人可以尝试该代码并查看这是否有助于这些铅笔，这将是有帮助的。

langou 于 2021-01-29

好的，是的。我们如何忘记我正在解释的所有花哨的数学......

第 722-732 行没有正确计算 $AB^{-1}$。更详细地说，从未计算 AB12，而是代码使用 AD12。

如果 pablo 想要确认，我已经更新了要点，但机器依赖性似乎不太可能仍然是一个问题。

thijssteel 于 2021-01-29

🚀2 ❤1 👍1

这也可能是 MKL 和 mathwork 表现如此出色的原因

thijssteel 于 2021-01-29

我很高兴地报告，通过新的修复，我再也找不到我的代码的非收敛铅笔了。干得好@thijssteel ！谢谢大家

编辑：明确地说，我从 #477 测试了这个提交。以下仅影响chgeqz.f，但我称其为复杂的双重版本，所以我想它不会影响我的测试。

pablosanjose 于 2021-01-29

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Lapack: 具有复杂双元素类型的 ggev 和 gges 中的收敛错误

矩阵示例

示例 1

示例 2

示例 3

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